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Series, Integrales y Espirales Logarítmicas de Fibonacci





















Pedro Hugo García Peláez
























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© Pedro Hugo García Peláez, 2019





























Prólogo




Aunque las demostraciones y ecuaciones sin ser difíciles, son un poco tediosas de leer, por eso espero que después de hacer un pequeño esfuerzo tengas tu recompensa al final con las espirales logarítmicas que podrás ver y crear tu mismo.

































La suma de todos los números desde Fibonacci(n-1) hasta Fibonacci(n) tiene dos propiedades.


Si sumamos todos los números naturales desde Fibonacci(n-1) hasta Fibonacci(n).


Por ejemplo la suma entre 13 y 21 es:





La suma inmediatamente inferior sera la suma de todos los naturales entre los dos números de Fibonacci anteriores.






Podemos ver que el cociente se acerca a Phi al cuadrado.


En este caso 153/63 = 2.428 vemos que se acerca algo al número Phi² = 2.618...



La expresión matemática de esta relación es:






Y la prueba es bastante fácil


Usando la fórmula de una suma aritmética









Vemos que (a1) es Fibonacci(x) (an) es Fibonacci (x+1) y (n) que es el número total de de términos es Fibonacci (x-1) al que hay que sumarle 1 ya que el número total de términos es:


n = Fibonacci(x+1) – Fibonacci (x) +1 = Fibonacci(x-1) + 1








Simplificando ambos 2 y por las propiedades de los números de Fibonacci


Fibonacci(x)+Fibonacci(x+1) = Fibonacci(x+2)

Fibonacci(x-1)+Fibonacci(x) = Fibonacci(x+1)


Por lo que tenemos





El primer término tiende a Phi y el segundo también tiende a Phi aunque se le sume una unidad a cada término para números de Fibonacci que tiendan a infinito esa unidad es despreciable, y por otra parte esa unidad va a ser fundamental para demostrar la siguiente propiedad.



La relación también funciona para sumas cuyo primer término sea 1 y el último un número de Fibonacci cualquiera.


O sea:








Obviamente esto también debería funcionar usando integrales y de hecho funciona de una forma exacta sin la pequeña desviación cuando usamos sumas.


Vamos a expresarlo matemáticamente:


Pero la relación más sorprendente es la de los números de Fibonacci y los logaritmos Neperianos.


Para ello vamos a definir otra sucesión entre números de Fibonacci cuya posición sea a su vez un índice de Fibonacci.


O sea un término de esta serie sería.




El siguiente término de la sucesión sería:






En resumen los primeros términos de esta sucesión son:


Fibonacci(Fibonacci(1)) = 1 = Fibonacci(1)

Fibonacci(Fibonacci(2)) = 1 = Fibonacci(1)

Fibonacci(Fibonacci(3)) = 1 = Fibonacci(2)

Fibonacci(Fibonacci(4)) = 2 = Fibonacci(3)

Fibonacci(Fibonacci(5)) = 5 = Fibonacci(5)

Fibonacci(Fibonacci(6)) = 21 = Fibonacci(8)

Fibonacci(Fibonacci(7)) = 233 = Fibonacci(13)

Fibonacci(Fibonacci(8)) = 10946 = Fibonacci(21)

Fibonacci(Fibonacci(9)) = 5702887 = Fibonacci(34)


Hay que observar que:


Fibonacci(Fibonacci(x) + Fibonacci(Fibonacci(x+1) Fibonacci(Fibonacci(x+2)


Sin embargo a causa de las propiedades de los números de Fibonacci.

Hay una relación que es:






Ya que la razón de dos números de Fibonacci distanciados el mismo números de unidades es prácticamente constante.


Por ejemplo:








Ya que entre Fibonacci(Fibonacci(21)) y Fibonacci(Fibonacci(13)) Hay 8 unidades de diferencia y entre Fibonacci(Fibonacci(13)) y Fibonacci(Fibonacci(5)) También hay 8 unidades de diferencia.


Pero lo sorprendente viene cuando dividimos la integral de 1/x usando estos números como límites de integración y en el denominador los límites de integración los números inmediatamente anteriores de esta serie.


Vayamos por partes:


  • La integral indefinida de 1/x es:






Donde ln(x) es el logaritmo natural o logaritmo en base (e) de (x)


Ahora vamos a utilizar los términos de esta sucesión como límites de integración.













La formalización matemática de esta relación es:








La demostración no es muy complicada.




Por las propiedades de los logaritmos llegamos al siguiente cociente.




Se trata de demostrar que estos términos forman una sucesión de Fibonacci y por lo tanto su cociente tenderá a Phi.




Tenemos que probar que la suma de dos términos cualesquiera da el siguiente término.


O sea tenemos que probar que:

















Por las propiedades de los logaritmos tenemos que:





Y por la propiedad de los números de Fibonacci que hemos visto antes, donde el cociente entre:

Fibonacci(Fibonacci(x+1))/Fibonacci(Fibonacci(x-1)) ≈ Fibonacci(Fibonacci(x+2))/Fibonacci(Fibonacci(x+1))


Por lo que los logaritmos de estos términos son casi iguales.


Y además para números de Fibonacci más grandes la aproximación es mayor con lo que concluimos que los términos de esta sucesión, son una sucesión de Fibonacci y el cociente entre dos términos consecutivos tiende a Phi.


Una aplicación de esta relación entre los logaritmos y los números de Fibonacci consiste en la construcción de espirales logarítmicas que tienen una especial belleza y armonía.





En coordenadas polares la gráfica de una espiral logarítmica viene dada por :






Y para el valor del ángulo vamos a usar:










Por ejemplo para este primer caso θ = Ln(Fibonacci(13)/Fibonacci(8))






























































































































































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(Pages 1-21 show above.)